La Recta

Definición

Es la línea que une 2 puntos en un plano. Conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.

Ecuación de la recta :       Ax + By +C = 0

Forma Punto Pendiente

En el punto P1(X1,Y1) , cuya pendiente es "M", la pendiente es la siguiente:

                                              Y-Y1 = M (X-X1)

Geometría Analítica

Estudio de objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial y el desarrollo de la geometría algebraica.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica de los puntos.

Lugar Geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

 

Ejemplos de lugares geometrticos:

 

- Mediatriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

 

-Bisectriz: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forma el ángulo.

  

 

Ejemplo:  

          

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2 , 5) y B(4, -7). 

          

                   

                                                                                                     

Ángulo de Inclinación y pendiente de un Segmento

Ángulo de Inclinación

El ángulo de inclinación de un segmento equivale al ángulo que este segmento forma con el eje X. Se mide en sentido anti-horario y se considera al eje X como lado inicial.

Definición de la Pendiente

La pendiente de una recta en un sistema cartesiano, suele ser representado por la letra M, y es definido como la división del cateto vertical entre el horizontal.

La fórmula de la pendiente es la siguiente:

División de un segmento de una razón dada

Es el resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra.

Se determina en un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, estén en la relación r:

Ejemplo:


¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

Distancia entre dos puntos:

La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos.
  

 

Ejemplo:

La distancia dirigida:

 
La distancia no dirigida:
 

Cálculo de áreas en el plano cartesiano

Para hallar el área de cualquier polígono teniendo las coordenadas de todos sus vértices se aplica la siguiente fórmula:

Esta fórmula se llama "Determinante de Gauss"

Ejemplo:

Dadas las siguientes coordenadas. Halla el área del polígono.

(3;-3)

(2,1)

(4,7)

(-6,2)

(-1,-2)

(-3,-5)

Par Ordenado

Es la secuencia ordenada de dos elementos, tal que el primero pueda ser distinguido como el primero componente o abscisa y el otro como el segundo componente o ordenada.

El conjunto de (X;Y) es conocido como el producto cartesiano.

Según la norma:

                                                     (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d

 Ejemplo:

 

                                                            - Ubicar el punto A(2;-1)                 

                               

                                                            - Ubicar el punto B(-3;3)

 

                                                  

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento se hallan mediante la semisuma de las coordenadas de los ejes "x" e "y" .

Ejemplo:

Dadas las coordenadas P1(3,2) y P2(7,10). Hallar el punto medio

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Existen 3 tipos de Sistemas Coordenados: El Sistema Coordenado Unidimensional, Bidimensional y Tridimensional

El Sistema Coordenado Unidimensional o lineal

Representado por la recta numérica, que se determina por P1(X1) y P2(X2) :

El Sistema Coordenado Bidimensional o de Coordenadas cartesianas

Se representa en un plano cartesiano con el eje x y el eje y.

El Sistema Coordenado Tridimensional

En tres dimensiones se introduce un tercer eje, el eje z, para definir la altura o profundidad de un punto. En el sistema de coordenadas cartesianas los tres ejes se encuentran en angulos rectos entre si.